1️⃣ Situação-Problema
Imagine que um jogador de basquete faz um arremesso. A trajetória da bola, em relação ao tempo, segue uma curva. Dizemos que a altura da bola (h) em metros, em função do tempo (t) em segundos, é dada por: h(t) = -5t² + 10t + 2
Transpondo da linguagem cotidiana para a algébrica:
- -5t²: aceleração da gravidade (a bola sobe e depois desce);
- +10t: velocidade inicial do arremesso;
- +2: altura da bola no momento do arremesso.
2️⃣ Métodos de Resolução
Queremos saber: em que momento a bola atinge o solo?
Para isso, resolvemos a equação: h(t) = 0, ou seja: -5t² + 10t + 2 = 0
🧮 a) Fórmula de Bhaskara
Coeficientes: a = -5, b = 10, c = 2
Δ = b² - 4ac > > > 10² - 4×(-5)×2 = 100 + 40 = 140
t = (-b ± √Δ) / 2a > > > (-10 ± √140) / (-10)
Aproximando √140 ≈ 11.83:
t₁ ≈ (-10 + 11.83)/(-10) = -0.183s (desprezamos por ser negativo)
t₂ ≈ (-10 - 11.83)/(-10) = 2.183s → tempo até a bola tocar o solo
📐 b) Completando Quadrados
Essa técnica transforma a equação em uma forma que permite identificar o vértice.
h(t) = -5(t² - 2t - 0.4)
Completando quadrado: h(t) = -5[(t - 1)² - 1.4]
h(t) = -5(t - 1)² + 7 → Forma de vértice
3️⃣ Representação Gráfica
A função h(t) = -5t² + 10t + 2 é uma parábola com concavidade para baixo (a < 0).
📈 Gráfico da Função h(t) = -5t² + 10t + 2
Este gráfico mostra a trajetória da bola em função do tempo:
🧠 Análise
- 🕒 Vértice: t = 1s → h = 7m
- 📍 Zeros: t ≈ -0,18s (ignorado) e t ≈ 2,18s
- 📈 Cresce até o vértice, depois decresce
4️⃣ Conclusão
A partir da equação h(t) = -5t² + 10t + 2, descobrimos que:
- 🕐 A bola atinge o ponto mais alto após 1 segundo
- 📏 A altura máxima é de 7 metros
- 🛬 A bola toca o chão após aproximadamente 2,18 segundos